【小编寄语】www.manfen6.com数学网小编给大家整理了高三数学《抛物线》教案 ，希望能给大家带来帮助!
1 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2 抛物线的图形和性质：
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：
③通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段： 。
⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3 抛物线标准方程的四种形式：
4 抛物线 的图像和性质：
①焦点坐标是： ，
②准线方程是： 。
③焦半径公式：若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是： ，
④焦点弦长公式：过焦点弦长
⑤抛物线 上的动点可设为P 或 或P
5 一般情况归纳：
方程 图象 焦点 准线 定义特征
y2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离
k<0时开口向左
x2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离
k<0时开口向下
抛物线的定义：
例1：点M与点F (-4，0)的距离比它到直线l：x-6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程.
分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义.
答案：y2=-16x
例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长.
分析：这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.
解：如图8-3-1，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x-1.
由 消去y得x2-6x+1=0.
设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6.
又A、B两点到准线的距离为 ， ，则
点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程;
(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程;
(3) 已知抛物线方程为y=-mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程;
(4) 求经过P (-4，-2)点的抛物线的标准方程;
分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p>0).特别是(3)题，要先化为标准形式： ，则 .(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.
答案：(1) ， .(2) x2=12y (3) ， ;(4) y2=-x或x2=-8y.
例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(-3，2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上
分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论
解：(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0)，
∵过点(-3，2)，
∴4=-2p(-3)或9=2p•2
∴p= 或p=
∴所求的抛物线方程为y2=- x或x2= y，前者的准线方程是x= ，后者的准线方程是y=-
(2)令x=0得y=-2，令y=0得x=4，
∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2)
当焦点为(4，0)时， =4，
∴p=8，此时抛物线方程y2=16x;
焦点为(0，-2)时， =2，
∴p=4，此时抛物线方程为x2=-8y
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，
对应的准线方程分别是x=-4，y=2
常用结论
① 过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2=2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2
③ 设A， B是抛物线y2=2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)
例5：过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=-4p2.
分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于-1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.
证：由OA⊥OB，得 ，即y1y2=-x1x2，又 ， ，所以： ，即 . 而y1y2≠0.所以y1y2=-4p2.
弦的问题
例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA?OB(O为坐标原点) 求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;
(2)直线AB经过一个定点
(3)作OM?AB于M，求点M的轨迹方程
解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OA?OB, ∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)
(2)直线AB的斜率k= = = ,
∴直线AB的方程为y─y1= (x─ ),
即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x─2p),
直线AB过定点C(2p,0)
(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y= (x─2p) (i),
又AB?OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即 • = ─1 (ii)
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x?0)
解法2: 由OM?AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出
例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,
又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,
∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ )? (|AB|─ )=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )
由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,
∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =
∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )
例3 设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线 相交于B、C两点,点B、C在 轴上的射影分别为 , P是线段BC上的点,且适合 ,求 的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
解析: 设 ,
,
由 得
①
又 代入①式得 ②
由 得 代入②式得:
由 得 或 , 又由①式知 关于 是减函数且
, 且
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
( 且 )
例4 已知抛物线 ,焦点为F,一直线 与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)
①求抛物线方程; ②求 面积的最大值
解: ①设 , AB中点
由 得
又 得
所以 依题意 ,
抛物线方程为
②由 及 ,
令 得
又由 和 得:
例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,
又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,
∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ )? (|AB|─ )=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )
由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,
∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =
∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )
综合类(几何)
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?
解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程 联立，解出
直线OP的方程为 即
令 ，得M点纵坐标 得证.
由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.
思路二：利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 ”来证.
设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，则有结论 ，即 .
又直线OP的方程为 ， ，得 .
因为 在抛物线上，所以 .