从而 .
这一证法运算较小.
思路三:直线MQ的方程为 的充要条件是 .
将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立,它的解(x ,y)就是点P的坐标,消去 的充要条件是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.
说明:本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.
例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求△RAB的最大面积.
分析:求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.
解:设AB所在的直线方程为 .
将其代入抛物线方程 ,消去x得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为 .代入抛物线方程得
由 得 ,这时 .它到AB的距离为
∴△RAB的最大面积为 .
例3 直线 过点 ,与抛物线 交于 、 两点,P是线段 的中点,直线 过P和抛物线的焦点F,设直线 的斜率为k.
(1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ;
(2)求出 的定义域及单调区间.
分析: 过点P及F,利用两点的斜率公式,可将 的斜率用k表示出来,从而写出 ,由函数 的特点求得其定义域及单调区间.
解:(1)设 的方程为: ,将它代入方程 ,得
设 ,则
将 代入 得: ,即P点坐标为 .
由 ,知焦点 ,∴直线 的斜率
∴函数 .
(2)∵ 与抛物线有两上交点,∴ 且
解得 或
∴函数 的定义域为
当 时, 为增函数.
例4 如图所示:直线l过抛物线 的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.
分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.
证法一:假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为0.
设C、D的坐标分别为 与 .则
∴l的方程为
∵直线l平分弦CD
∴CD的中点 在直线l上,
即 ,化简得:
由 知 得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.
证法二:假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上,∴
由抛物线定义, 到抛物线的准线 的距离相等.
∵ ,
∴CD的垂直平分线l: 与直线l和抛物线有两上交点矛盾,下略.
例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直,求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.
分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.
解法一:设
则: ,
, 即
, ①
把N点看作定点,则AB所在的直线方程为: 显然
代入 化简整理得:
, ②
由①、②得: ,化简得
用x、y分别表示 得:
解法二:点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设 ,则以OA为直径的圆方程为:
①
设 ,OA⊥OB,则
在求以OB为直径的圆方程时以 代 ,可得
②
由①+②得:
例6如图所示,直线 和 相交于点M, ⊥ ,点 ,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形, , ,且 ,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
分析:因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C所满足的抛物线方程.
解:以 为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系.
由题意,曲线段C是N为焦点,以 为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段的两端点.
∴设曲线段C满足的抛物线方程为: 其中 、 为A、B的横坐标
令 则 ,
∴由两点间的距离公式,得方程组:
解得 或
∵△AMN为锐角三角形,∴ ,则 ,
又B在曲线段C上,
则曲线段C的方程为
例7如图所示,设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B,与圆 在x由上方的交点为C、D,P为AB中点,Q为CD的中点.(1)求 .(2)求△ABQ面积的最大值.
分析:由于P、Q均为弦AB、CD的中点,故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标,由两点距离公式即可求出 .
解:(1)设
由 得: ,
由 得 ,
同 类似,
则 ,
(2)
,∴当 时, 取最大值 .
例8 已知直线 过原点,抛物线 的顶点在原点,焦点在 轴的正半轴上,且点 和点 关于直线 的对称点都在 上,求直线 和抛物线 的方程.
分析:设出直线 和抛物线 的方程,由点 、 关于直线 对称,求出对称点的坐标,分别代入抛物线方程.或设 ,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
解法一:设抛物线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
则有点 ,点 关于直线 的对称点为 、 ,
则有 解得
解得
如图, 、 在抛物线上
∴
两式相除,消去 ,整理,得 ,故 ,
由 , ,得 .把 代入,得 .
∴直线 的方程为 ,抛物线 的方程为 .
解法二:设点 、 关于 的对称点为 、 ,
又设 ,依题意,有 , .
故 , .
由 ,知 .
∴ , .
又 , ,故 为第一象限的角.
∴ 、 .
将 、 的坐标代入抛物线方程,得
∴ ,即 从而 , ,
∴ ,得抛物线 的方程为 .
又直线 平分 ,得 的倾斜角为 .
∴ .
∴直线 的方程为 .
说明:
(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明确,但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强,一时难于想到.
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要重点掌握.
例9 如图,正方形 的边 在直线 上, 、 两点在抛物线 上,求正方形 的面积.
分析:本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力.
解:∵直线 , ,∴设 的方程为 ,且 、 .
由方程组 ,消去 ,得 ,于是
, ,∴ (其中 )
∴ .
由已知, 为正方形, ,
∴ 可视为平行直线 与 间的距离,则有
,于是得 .
两边平方后,整理得, ,∴ 或 .
当 时,正方形 的面积 .
当 时,正方形 的面积 .
∴正方形 的面积为18或50.
说明:运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件.
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为 时,经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ,求这彗星与地球的最短距离.
分析:利用抛物线有关性质求解.
解:如图,设彗星轨道方程为 , ,焦点为 ,
彗星位于点 处.直线 的方程为 .
解方程组 得 ,
故 .
.
故 ,得 .
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为 ,所以彗星与地球的最短距离为 或 ,( 点在 点的左边与右边时,所求距离取不同的值).
说明:
(1)此题结论有两个,不要漏解;
(2)本题用到抛物线一个重要结论:顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:设 为抛物线 上一点,焦点为 ,准线方程为 ,依抛物线定义,有 ,当 时, 最小,故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
例11 如图,抛物线顶点在原点,圆 的圆心是抛物线的焦点,直线 过抛物线的焦点,且斜率为2,直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点,求 的值.
分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.
解:由圆的方程 ,即 可知,圆心为 ,半径为2,又由抛物线焦点为已知圆的圆心,得到抛物线焦点为 ,设抛物线方程为 ,