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高三数学《抛物线》教案

11-01 11:56:30 | 浏览次数: 16318 次 | 栏目:数学教学设计
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  从而 .

  这一证法运算较小.

  思路三:直线MQ的方程为 的充要条件是 .

  将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立,它的解(x ,y)就是点P的坐标,消去 的充要条件是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小.

  说明:本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.

  例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求△RAB的最大面积.

  分析:求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.

  解:设AB所在的直线方程为 .

  将其代入抛物线方程 ,消去x得

  当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.

  设直线l方程为 .代入抛物线方程得

  由 得 ,这时 .它到AB的距离为

  ∴△RAB的最大面积为 .

  例3 直线 过点 ,与抛物线 交于 、 两点,P是线段 的中点,直线 过P和抛物线的焦点F,设直线 的斜率为k.

  (1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ;

  (2)求出 的定义域及单调区间.

  分析: 过点P及F,利用两点的斜率公式,可将 的斜率用k表示出来,从而写出 ,由函数 的特点求得其定义域及单调区间.

  解:(1)设 的方程为: ,将它代入方程 ,得

  设 ,则

  将 代入 得: ,即P点坐标为 .

  由 ,知焦点 ,∴直线 的斜率

  ∴函数 .

  (2)∵ 与抛物线有两上交点,∴ 且

  解得 或

  ∴函数 的定义域为

  当 时, 为增函数.

  例4 如图所示:直线l过抛物线 的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.

  分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.

  证法一:假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为0.

  设C、D的坐标分别为 与 .则

  ∴l的方程为

  ∵直线l平分弦CD

  ∴CD的中点 在直线l上,

  即 ,化简得:

  由 知 得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.

  证法二:假设直线l是弦CD的垂直平分线

  ∵焦点F在直线l上,∴

  由抛物线定义, 到抛物线的准线 的距离相等.

  ∵ ,

  ∴CD的垂直平分线l: 与直线l和抛物线有两上交点矛盾,下略.

  例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直,求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.

  分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.

  解法一:设

  则: ,

  , 即

  , ①

  把N点看作定点,则AB所在的直线方程为: 显然

  代入 化简整理得:

  , ②

  由①、②得: ,化简得

  用x、y分别表示 得:

  解法二:点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设 ,则以OA为直径的圆方程为:

  ①

  设 ,OA⊥OB,则

  在求以OB为直径的圆方程时以 代 ,可得

  ②

  由①+②得:

  例6如图所示,直线 和 相交于点M, ⊥ ,点 ,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形, , ,且 ,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.

  分析:因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C所满足的抛物线方程.

  解:以 为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系.

  由题意,曲线段C是N为焦点,以 为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段的两端点.

  ∴设曲线段C满足的抛物线方程为: 其中 、 为A、B的横坐标

  令 则 ,

  ∴由两点间的距离公式,得方程组:

  解得 或

  ∵△AMN为锐角三角形,∴ ,则 ,

  又B在曲线段C上,

  则曲线段C的方程为

  例7如图所示,设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B,与圆 在x由上方的交点为C、D,P为AB中点,Q为CD的中点.(1)求 .(2)求△ABQ面积的最大值.

  分析:由于P、Q均为弦AB、CD的中点,故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标,由两点距离公式即可求出 .

  解:(1)设

  由 得: ,

  由 得 ,

  同 类似,

  则 ,

  (2)

  ,∴当 时, 取最大值 .

  例8 已知直线 过原点,抛物线 的顶点在原点,焦点在 轴的正半轴上,且点 和点 关于直线 的对称点都在 上,求直线 和抛物线 的方程.

  分析:设出直线 和抛物线 的方程,由点 、 关于直线 对称,求出对称点的坐标,分别代入抛物线方程.或设 ,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.

  解法一:设抛物线 的方程为 ,直线 的方程为 ,

  则有点 ,点 关于直线 的对称点为 、 ,

  则有 解得

  解得

  如图, 、 在抛物线上

  ∴

  两式相除,消去 ,整理,得 ,故 ,

  由 , ,得 .把 代入,得 .

  ∴直线 的方程为 ,抛物线 的方程为 .

  解法二:设点 、 关于 的对称点为 、 ,

  又设 ,依题意,有 , .

  故 , .

  由 ,知 .

  ∴ , .

  又 , ,故 为第一象限的角.

  ∴ 、 .

  将 、 的坐标代入抛物线方程,得

  ∴ ,即 从而 , ,

  ∴ ,得抛物线 的方程为 .

  又直线 平分 ,得 的倾斜角为 .

  ∴ .

  ∴直线 的方程为 .

  说明:

  (1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明确,但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强,一时难于想到.

  (2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要重点掌握.

  例9 如图,正方形 的边 在直线 上, 、 两点在抛物线 上,求正方形 的面积.

  分析:本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力.

  解:∵直线 , ,∴设 的方程为 ,且 、 .

  由方程组 ,消去 ,得 ,于是

  , ,∴ (其中 )

  ∴ .

  由已知, 为正方形, ,

  ∴ 可视为平行直线 与 间的距离,则有

  ,于是得 .

  两边平方后,整理得, ,∴ 或 .

  当 时,正方形 的面积 .

  当 时,正方形 的面积 .

  ∴正方形 的面积为18或50.

  说明:运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件.

  例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为 时,经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ,求这彗星与地球的最短距离.

  分析:利用抛物线有关性质求解.

  解:如图,设彗星轨道方程为 , ,焦点为 ,

  彗星位于点 处.直线 的方程为 .

  解方程组 得 ,

  故 .

  .

  故 ,得 .

  由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为 ,所以彗星与地球的最短距离为 或 ,( 点在 点的左边与右边时,所求距离取不同的值).

  说明:

  (1)此题结论有两个,不要漏解;

  (2)本题用到抛物线一个重要结论:顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:设 为抛物线 上一点,焦点为 ,准线方程为 ,依抛物线定义,有 ,当 时, 最小,故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.

  例11 如图,抛物线顶点在原点,圆 的圆心是抛物线的焦点,直线 过抛物线的焦点,且斜率为2,直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点,求 的值.

  分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.

  解:由圆的方程 ,即 可知,圆心为 ,半径为2,又由抛物线焦点为已知圆的圆心,得到抛物线焦点为 ,设抛物线方程为 ,

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