【小编寄语】www.manfen6.com数学网小编给大家整理了2013高三《三角函数》数学教案，希望能给大家带来帮助!
4.6 三角函数的图象与性质(二)
●知识梳理
1.三角函数的图象和性质
函 数
性 质 y=sinx y=cosx y=tanx
定义域
值域
图象
奇偶性
周期性
单调性
对称性
注：读者自己填写.
2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象.
●点击双基
1.函数y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是
A.2π B.π C. D.4π
解析：y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x)，T=π.
答案：B
2.若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是
A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x
解析：检验.
答案：B
3.函数y=2sin( -2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是
A.[0， ] B.[ ， ]
C.[ ， ] D.[ ，π]
解析：由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由y=2sin(2x- )的减区间得到，即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ，k∈Z.
∴kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z.
令k=0，故选C.
答案：C
4.把y=sinx的图象向左平移 个单位，得到函数____________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.
解析：向左平移 个单位，即以x+ 代x，得到函数y=sin(x+ )，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以 x代x，得到函数：y=sin( x+ ).
答案：y=sin(x+ ) y=sin( x+ )
5.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.
解析：由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由图象观察，知2kπ-
答案：2kπ-
●典例剖析
【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;
(2)y=2sin(3x- )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.
剖析：(1)y=cosx+ cosx- sinx
= cosx- sinx= ( cosx- sinx)
= sin( -x).
所以ymax= .
(2)T= ，相邻对称轴间的距离为 .
答案：
【例2】 (1)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cosx)的定义域;
(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域.
剖析：求函数的定义域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)>0，这里的cosx以它的值充当角.
解：(1)0≤cosx<1 2kπ- ≤x≤2kπ+ ，且x≠2kπ(k∈Z).
∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ- ，2kπ+ ]且x≠2kπ，k∈Z｝.
(2)由sin(cosx)>0 2kπ
评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.
【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值.
剖析：将原函数化成y=Asin(ωx+ )+B的形式，即可求解.
解：y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .
∴T= .
当cos4x=1，即x= (k∈Z)时，ymax=1.
深化拓展
函数y=tan(ax+θ)(a>0)当x从n变化为n+1(n∈Z)时，y的值恰好由-∞变为+∞，则a=_______.
分析：你知道函数的周期T吗?
答案：π
●闯关训练
夯实基础
1.若函数f(x)=sin(ωx+ )的图象(部分)如下图所示，则ω和 的取值是
A.ω=1， = B.ω=1， =-
C.ω= ， = D.ω= ， =-
解析：由图象知，T=4( + )=4π= ，∴ω= .
又当x= 时，y=1，∴sin( × + )=1，
+ =2kπ+ ，k∈Z，当k=0时， = .
答案：C
2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a为实常数)在区间[0， ]上的最小值为-4，那么a的值等于
A.4 B.-6 C.-4 D.-3
解析：f(x)=1+cos2x+ sin2x+a
=2sin(2x+ )+a+1.
∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ].
∴f(x)的最小值为2×(- )+a+1=-4.
∴a=-4.
答案：C
3.函数y= 的定义域是_________.
解析：-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).
答案：6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)
4.函数y=tanx-cotx的最小正周期为____________.
解析：y= - =-2cot2x，T= .
答案：
5.求函数f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.
解：f(x)=
= = (1+sinxcosx)
= sin2x+ ，
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .
6.已知x∈[ ， ]，函数y=cos2x-sinx+b+1的最大值为 ，试求其最小值.
解：∵y=-2(sinx+ )2+ +b，
又-1≤sinx≤ ，∴当sinx=- 时，
ymax= +b= b=-1;
当sinx= 时，ymin=- .
培养能力
7.求使 = sin( - )成立的θ的区间.
解： = sin( - )
= ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos
sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z).
因此θ∈[4kπ+ ，4kπ+ ](k∈Z).
8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围.
解：原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k，在同一坐标系内作函数y1= sin(x+ )与y2=k的图象.对于y= sin(x+ )，令x=0，得y=1.
∴当k∈[1， )时，观察知两曲线在[0，π]上有两交点，方程有两解.
评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法.
探究创新
9.已知函数f(x)=
(1)画出f(x)的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值;
(2)判断f(x)是否为周期函数.如果是，求出最小正周期.
解：(1)实线即为f(x)的图象.
单调增区间为[2kπ+ ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+2π](k∈Z)，
单调减区间为[2kπ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈Z)，
f(x)max=1，f(x)min=- .
(2)f(x)为周期函数，T=2π.
●思悟小结
1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.
2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.
●教师下载中心
教学点睛
1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.
2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可.
拓展题例
【例1】 已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是
A.若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
B.若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ
C.若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
D.若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
解析：借助三角函数线易得结论.
答案：D
【例2】 函数f(x)=-sin2x+sinx+a，若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.
解：f(x)=-sin2x+sinx+a
=-(sinx- )2+a+ .
由1≤f(x)≤
1≤-(sinx- )2+a+ ≤
a-4≤(sinx- )2≤a- . ①
由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤
(sinx- ) = ，(sinx- ) =0.
∴要使①式恒成立，
只需 3≤a≤4.
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