五年级寒假作业答案:奥数寒假作业答案(七)
1、(整除问题)已知五个数依次是16,24,15,25,20他们每组相邻的两个数相乘得四个数,这四个数每相邻的两个数相乘得三个数,一直乘到只剩下一个数。请问最后这个数从个位起向左数,可以连续数到多少个0。
解:要使得数的末位数是零,那么相乘的两个数的末位一定是2和5(如果末位数是0,可看做是一个5和2的乘积,所以也符合上述结论)。题目中,所给数中2的个数显然要比5多(16可看做是2×2×2×2),因此只要数出乘到最后总共有多少个5就可以了。提醒一下,25要看做是5×5,要按两个5计算。
根据原图,下面右图中填写的是过程中每一步可以分解为多少个5,注意的是从上到下,相邻两个数之间是相加的关系。这样算下来最后的数中可以分解出15个5,由于该数中能分解为2的个数要超过15个(经验算为18个,看来还是要严谨的计算的,计算方法同上述计算因数5的个数的方法),所以最后的结果中含有15个0。
扩展理解:为了便于很快找出积的末尾有多少个“0”,先来看另外一道题:
假若把从1—100这一百个连续自然数连乘,得到的积是A×10N,求N的值。这个“N”,事实上就是积的末尾连续“0”的个数。
我们知道,积的末尾要有“0”,积的因数中必须要有质因数2和5,有多少对2和5,就有多少个“0”。
在1—100的连续自然数中,5比2少,因此,只要找出5的个数就可以知道有多少个“0”了。那么,5的个数是20吗?显然不止。
因为在25,50,75和100这四个数中,它们都各有2个质因数5,这样就应该有(20+4 =)24个质因数5,那么,积的末尾有24个“0”,所以N = 24。
2的个数:[100/2]+[100/22] = 50+25 = 75(个),
5的个数:[100/5]+[100/52] = 20+4 = 24(个)。
即积的末尾有24个“0”。
2、(余数问题)一个数有2007位,每个位上都是1,被13除余多少?
解:余数的规律是:
1 11 7 6 9 0
1 11 7 6 9 0
1 11 7 6 9 0
1 11…
六位循环一次,那么2007中有334个6,余3,那么这个2007位的数除以13后余7。
3、(质数性质)两个质数的和是39,求这两个质数的积。
解:因为和是奇数,所以必有质数2,所以两个质数的积为2×37 = 74。
4、如图所示的四边形的面积等于多少?
解:通过割补,变成一个12为边长的正方形。所以其面积就是12×12 = 144。
5、(位值原理)求一个三位数,它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍与25之差。
解:275