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2.3.2离散型随机变量的方差
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”， 以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 ， ，…， 中，各数据与它们的平均值 得差的平方分别是 ， ，…， ，那么 + +…+
叫做这组数据的方差
教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5. 分布列:
ξ x1 x2 … xi …
P P1 P2 … Pi …
6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i=1，2，…; ⑵P1+P2+…=1.
7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记 =b(k;n，p).
ξ 0 1 … k … n
P
…
…
8.几何分布： g(k，p)= ，其中k=0,1,2,…， .
ξ 1 2 3 … k …
P
…
9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称 … … 为ξ的数学期望，简称期望.
10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
12. 期望的一个性质:
13.若ξ B(n,p)，则Eξ=np
二、讲解新课：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 ， ，…， ，… ，且取这些值的概率分别是 ， ，…， ，…，那么,
= + +…+ +…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量ξ的期望.
2. 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 .
3.方差的性质：(1) ;(2) ;
(3)若ξ～B(n，p)，则 np(1-p)
4.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
三、讲解范例：
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
从而
例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2000
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位?
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1
= 1400 ,
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3
+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1
= 40 000 ;
EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
= 160000 .
因为EX1 =EX2, DX 1
例3.设随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 … n
P
…
求Dξ
解：(略) ,
例4.已知离散型随机变量 的概率分布为
1 2 3 4 5 6 7
P
离散型随机变量 的概率分布为
3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解： ;
;
;
=0.04, .
点评：本题中的 和 都以相等的概率取各个不同的值，但 的取值较为分散， 的取值较为集中. ， ， ，方差比较清楚地指出了 比 取值更集中.
=2， =0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解：
+(10-9) ;
同理有
由上可知， ， 所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些.
点评：本题中， 和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同. =9，这时就通过 =0.4和 =0.8来比较 和 的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况
例6.A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床 B机床
次品数ξ1 0 1 2 3 次品数ξ1 0 1 2 3
概率P 0.7 0.2 0.06 0 .04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10
问哪一台机床加工质量较好
解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2
×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,
Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2
×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
四、课堂练习：
1 .已知 ，则 的值分别是( )
A. ; B. ; C. ; D.
答案：1.D
2 . 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.
分析：涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.
解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P(ξ=0)=