拓展教材内容 促进有效发展──“表面积的变化”教学实践与反思

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苏教版六年级（上册）《长方体和正方体》单元最后一课时是一节实践活动课，主要探讨相同的正方体拼成的大长方体表面积的变化规律。这一课如何去教，备课组的老师曾在一起进行了初步研讨，大家提到最多的就是这一内容考试会考什么，学生最容易出现的错误是什么，采取怎样的策略防止学生少出差错，等等。显然，仅仅着眼于帮助学生应付考试的观念是狭隘的，教学时应更关注如何促进学生的有效发展。因此，在教材最后一部分“拼拼说说”的环节，我是这样组织教学的──
[片段一]
师：用6个体积是1立方厘米的正方体可以拼成几种不同的长方体？在拼成的长方体中，哪一个长方体的表面积小？为什么？
书上原来的问题是“哪个长方体的表面积大？大多少？”只要求学生通过简单地数一数减少的面，计算拼成的长方体表面积。而我把问题改成“哪个长方体的表面积小？为什么？”主要是为了引导学生探索，体积一定时，物体表面积的变化规律。
学生通过学具操作，很快发现有两种不同的拼法。第一种拼法减少了10个小正方形的面，第二种拼法减少了14个小正方形的面，所以第二种拼法得到的长方体表面积小。

师：大家通过数减少的面，确定谁的表面积小当然是可以的。能否通过简单的操作来说明第二种拼法的表面积比第一种小呢？
学生一时茫然。
师：（进一步引导）你们能否在第一种拼法的基础上，稍作变动，将它转化成第二种拼法呢？
各组学生完成了如下操作：

[page]-->师：从刚才的操作过程中，长方体的表面积增加了哪一部分，又减少了哪一部分？你们能发现吗？
学生很快发现，当把第一种拼法分成两部分时，长方体增加了2个小正方形面，再把两部分拼在一起时，又减少了6个小正方形面，所以第二种拼法表面积小。
很多学生都认为这种方法简单，但就在这时，一个男生站了起来：“老师，你的要求是不能数，刚才我们比较的时候还不是数了吗？”
是啊，这是我备课时没有考虑到的。我灵机一动，在黑板上画了一个隐去了小正方体的示意图：

通过示意图很容易发现增加的两个面比较小，而减少的两个面却要大得多。
[片段二]
（按教材要求，教学内容已基本完成，以下是我对教材的进一步开发与尝试。）
师：如果用8个体积是1立方厘米的小正方体拼，有几种拼法？拼成怎样的长方体表面积最小？
学生很快通过操作发现有以下三种拼法，其中第三种拼法的表面积最小。

师：如果用12个体积是1立方厘米的小正方体拼，有几种拼法？拼成怎样的长方体表面积最小？
学生摆出了以下四种拼法，第四种拼法的表面积最小。

[page]-->师：如果用16个体积是1立方厘米的小正方体拼，拼成怎样的长方体表面积最小？
……
师：从前面的四次操作中，怎样拼得的长方体表面积最大？怎样拼得的长方体表面积最小？
学生的讨论异常热烈，并很快发现拼成一长排，表面积最大，但对表面积最小的拼法表述却各不一样。
生1：表面积最小，就要尽可能地多摆几层。
大部分学生同意该生的意见，教师随接以12个小正方体为例，把图中的第二种拼法竖起来。
师：这个长方体共有6层，你能说它的表面积比3层（第四种拼法）的长方体表面积小吗？
生1很快补充：这种不能算真正的6层，如果把它推倒，只能算是一层2排。
师：那你的意思应该怎样表述更为准确呢？
生2：摆成的长方体既不能是一排，也不能是一层。
师：你的意思是说摆成的长方体，在高度上不能只有一层，在宽度上也不能只有一排，长、宽、高三个方向上要兼顾对吗？
学生普遍同意这样的表述。
师：同学们，你们分析得很好。大家不妨再来仔细观察刚才三种表面积最小的长方体的拼法，它们在形状上有什么特征？
生3：我认为如果能拼成一个大正方体，就一定要拼成正方体，如果不能拼成大正方体，那么就尽可能地把它们拼成近似于正方体的形状。
师：你的发现太深刻了！但老师还有一个问题，什么样的长方体才叫尽可能地接近正方体呢？
生：就是拼成的长方体的长、宽、高要尽可能地接近。
生4：老师，我还发现，用小正方体拼长方体，与我们五年级时学的用小正方形拼长方形有相似的地方，也就是拼得的图形越接近正方形，它的周长就越小。而这里是拼的形体越接近正方体，它的表面积就越小。
师：当然不要忘记前提条件，那就是小正方体的个数或小正方形的个数同样多。是吗？
[片段三]
（片段二教学结束，应该说已经很好地完成了我预定的教学目标，但我认为还可以进一步将表面积的变化规律进行简单的拓展。）
师：老师这里有一桶沙子，它是由许多小沙粒组成的，每个小沙粒也有体积，我们把这些沙子堆成怎样的形体，它的表面积最小？堆成怎样的形体，它的表面积最大？
学生一致认为把它堆成正方体的沙堆，它的表面积最小，而把这个沙堆平铺在地面上，铺得越薄，它的表面积就越大。
师：你们的想法很好！不过老师还要告诉你们，如果把它堆成一个球，它的表面积比正方体还要小。教室里一下子安静了一来，学生似乎都陷入了沉思。
师：冬天小狗、小猫在睡觉时总喜欢把身体蜷缩成一团，这是为什么？
生：这样可以更暖和。
师：为什么蜷缩成一团睡觉就更暖和呢？能否联系我们今天学的表面积变化规律想一想？
生：蜷缩成一团，身体更接近于一个球体，表面积最小，所以热量不容易散发出去。
因为对教材内容做了适当拓展，因此，我比其他教师多用了一课时才完成了教学。这一课时对学生应付考试或许没有直接的作用，但我认为是值得的。因为我充分利用教材提供的素材，适度拓展，引导学生利用已有的知识经验，探索了富有数学内涵的规律。在这一过程中，学生经历了观察、比较、归纳、概括的过程，初步体验了从简单的数学现象出发探索一般数学规律的方法。应该说，在这一过程中，学生会发现数学的奇妙，会发现数学的乐趣。他们一定惊讶于小狗、小猫居然也“精通”数学！其实教材中像这样好的学习素材并不缺少，缺少的只是我们发现的眼睛！
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