五年级趣味数学抽屉原理

五年级趣味数学抽屉原理

应用抽屉原理是解决一些数学竞赛题的一把钥匙。

什么是抽屉原理呢？抽屉原理可以这样表达：把（n+1）个物体，放进n个抽屉里去，不论怎样放法，至少有一个抽屉内的物体不少于2个。

A组：

1.有29个人都在2月份出生，其中一人说：“我的生日肯定和其他人重复。”这话对吗？

2.某校有366名1979年出生的学生，那么是否至少有2个学生的生日是同一天的？

3.参加数学竞赛的210名学生，能否保证有18名或18名以上的学生在同一个月出生？为什么？

4.一个袋子里有些球，这些球除颜色不同外，其他都相同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个，某人闭着眼睛从其中取出若干个。试问他至少要取多少个球，方能保证至少有4个球颜色相同？

5.有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？（1986年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）

B组：

6.有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各若干个，每个人可以从中任意选择两个，那么需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同？为什么？

7.某电影院共有1987个座位，有一天，这家电影院上、下午各演一场电影。看电影的正巧是甲、乙两所中学的各1987名师生。同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场。因此，有人推断说：“这天看电影时，肯定有的座位在上午、下午坐的是两所不同学校的师生。”你能说明这种断言正确与否吗？

8.10名乒乓球运动员进行单循环比赛（每两个运动员之间都要赛一场而且只赛一场）。证明每天比赛结束时，一定有两名运动员，他们累积比赛的场数是相同的。

9.在我国至少有两个人出生的时间相差不会超过4秒钟。你能证明这个结论是正确的吗？

C组：

10.证明在任何6个人的聚会上，总有3个人互相认识或者3个人互相不认识。

11.老师将一批课外读物随意分给10名学生，保证每个学生至少分到1本，可以肯定在这10名学生中，一定有一些学生所得到的书的总和是10的倍数吗？为什么？

12.从13个自然数中，一定可以找到两个，它们的差是12的倍数。

答案：

A组：1.不对。因为闰年2月份有29天，29个人有可能两两生日都不相同。

2.这道题中的“1979年”是平年，一年有365天，应用抽屉原理，把365天看作365个抽屉，把366名学生看作366本书，把366本书放到365个抽屉中，至少有一个抽屉中有2本书。因此，366名学生中至少有2名学生的生日是同一天的。3.这道题问的是在210名学生中能否有18名以上的学生是同一个月出生的。应用抽屉原理，把一年的12个月看作12个抽屉，把210名学生看作210本书，如果每个抽屉里放17本书，那么共放17×12=204（本），因为210＞204，所以一定有18本或18以上的书在同一个抽屉里。因此，参加数学竞赛的210名学生中，肯定有18名或18名以上的学生在同一个月出生。

4.3+3+3+2+1＝12（个）。

5.在黑暗中摸筷子，如果摸8根都是同一颜色，只能保证有一双筷子。再摸2根，如果颜色不同，一样一根，也不能配成一双。这时，10根筷子共有三种颜色，再摸一根，不论是什么颜色，总可以从“一样一根”的筷子中选出一根来配成一双。所以，至少要取出11根，才能保证取出颜色不同的两双筷子。

B组：6.这道题问的是需要几个人才能保证至少有2人选的小球颜色相同，那么从红、黄、蓝、黑四种颜色的小球中任意选择两个，有几种不同的选法呢？共有10种不同的选法：（1）红+红；（2）黄+黄；（3）蓝+蓝；（4）黑+黑；（5）红+黄；（6）红+蓝；（7）红+黑；（8）黄+蓝；（9）黄+黑；（10）蓝+黑。即10个人参加选，每人选的小球颜色不相同。应用抽屉原理，把10种选法看作10个抽屉，每人任意选2个球，需要有11人，才能保证至少有2人选的小球颜色相同。7.这种说法是正确的。甲乙两校师生都是1987名，电影院的座位也恰是1987个，上、下午两场共有1987×2人看电影，显然上、下午都满场。

由于电影院共有1987个座位，是个奇数，且为：993×2+1，因此，上午场看电影的师生中至少有一个学校的人数不少于994人，假设甲校看电影人数不少于994人，那么甲校下午看电影的人数不多于1987-994=993（人），这些学生即使全坐在上午甲校学生的座位上，也不能坐满，至少还余下一个座位，这个座位下午要坐的一定是乙校看电影的师生。8.由于比赛是单循环进行的，所以在整个比赛过程中每个运动员都要赛9场。这样在每天比赛结束时，都可以出现两种情况，一种情况是每一运动员都还没有赛9场，也就是说这9名运动员已经赛过的场数只可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8这9种。这9种可能性就是抽屉，元素是10名运动员，可见一定有两个人赛的场数是一样的。

还有一种情况，就是已经有某个运动员赛了9场，由于是单循环，不能还有运动员没有赛过。这样10名运动员赛过的场数只可能是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种。还是9个抽屉10个元素。

总之，无论是哪一种情况，一定有两个人赛的场数是一样多的。

9.首先我们要明确在我国有12亿人口，而每个人的寿命设为不超过110岁，这样我们看一看在110年里共包括多少个4秒间隔，这个数字也就是抽屉的个数，如果这个数小于12亿，那么就可以肯定有两个人出生的时间相差不超过4秒。

110年大致合4万天，一天有3600×24秒，这样在110年中共有3600×24×4万秒，于是4秒间隔数为3600×24×4万÷4=86400万，即八亿六千四百万。

这就是抽屉数，元素数是12亿。于是一定有两个人在同一抽屉里，也就是说，至少有两人出生时刻相差不到4秒。

C组：10.为了便于说明问题，我们在纸上取6个点A、B、C、D、E、F来代表6个人。如果两个人认识就用红线（图10-16中的实线）把代表他们的点连接起来，如果两个人互相不认识就用蓝线（图中的虚线）把代表两人的点连接起来，每两点之间都有一条红线或者蓝线连结着，这些点和线组成了若干个三角形。问题就转化了，如果有三个人互相认识（或不认识），那么以代表这三个人的三个点为顶点的三角形的三条边全是红色（或蓝色）的。




考虑从A点出发的五条线。由于它们不是红色的就是蓝色的，由抽屉原理知，至少有三条边的颜色是相同的，不妨设为AB、AC及AD为红色的。

下面考虑点B、C、D之间的连线。如果三条连线中至少有一条是红色的，假如BC是红色的，那么△ABC的三条边全是红色的，说明A、B、C三点代表的三个人互相认识；如果三条连线全是蓝色的，则△BCD的三条边都是蓝色的，说明B、C、D三点代表的三个人互相不认识。

11.题目是要证明有一些学生分得的课外读物的总和是10的倍数。所以可以把10个学生所分得的课外读物数的和写出来进行分析。设10个学生分得的课外读物的数分别是a1、a2、…、a10；再设s1=a1，s2=a1+a2，s3=a1+a2+a3，…，s10=a1+a2+…+a10；分别代表1个学生，2个学生……，10个学生所分得的书的总和。下面我们来分析s1，s2，s3，…，s10这10个数。自然数被10除时，余数只有10种可能的情况，即0，1，2，…，9。

把每一个s用10去除，都各自得到一个余数。如果每一个数被10除后的余数都不相同，则必有一个s被10除余数为0，比如是S7，也就是说，前7个学生所分得的课外读物的总和是10的倍数。否则根据抽屉原则，一定有两个s，它们被10除后所得的余数相等，不妨设为S2和S8；于是S8-S2就一定能被10整除。而s8-s2=a8+a7+a5+a4+a3，也就是说第3个学生至第8个学生分得的课外读物的总和是10的倍数。这样问题就全部解决了。

12.有了上一题的分析，这个题就变得十分简单了。设13个自然数为a1，a2，a3，…，a12，a13。用12去除每个a，得到13个商和余数。

由于自然数被12除时，只可能有12种不同的余数，这就是要找的抽屉，13个数是元素，于是一定有两个在同一抽屉里，即它们被13除时余数是相同的，不妨设为a7=12·q1+r，a11=12·q2+r，a7-a11=12（q1-q2）是12的倍数。问题得到解决。